Configuration pour envoy de mail sur Internet avec Exim4

Bonjour,
J'ai fait l'acquisition récemment d'un nom de domaine.
Du coup j'ai mis en place un serveur e- mail.
Je reçois les mail distant et les mail en local.
J'envoye les mail en local mais pas en distant.

Je recherche la bonne pratique pour envoyer des mail sur internet.
Pourriez vous me donner un coup de main ?

Au hasard... Hibou... ?

Merci.

Ma config du serveur c'est un pc sur GNU/Linux derriere un modem adsl.

Bonjour, J'ai fait quelque tests de config supplémentaire avec Exim4.

Notamment j'ai utiliser les champs smarthost et Machine relay :

En smarthost, j'ai mis *.*; pour envoyer les mail n'importe où
En Machine relay :
J'ai mentionné L'ip de la carte d'internet et l'ip localhost

Je crois que j'ai tout essayé depuis.
Je dois avoir un problème de routage à mon avis.

Voilà merci pour votre aide.