Rappels sur la logique Booléenne, dont découle la logique floue

La logique Booléenne, est une algèbre connaissant deux valeurs et deux valeurs seulement : Vrai et Faux. Les opérations les plus courantes dans cette logique sont la conjonction, (« et ») notée « * » ou « ∧ », la disjonction (« ou » inclusif), notée « + » ou « ∨ », la négation, notée « ~ » ou « ¬ », et l’implication, notée « -> » ou « ⇒ ».

Si le « et » et le « ou » sont parfois notés « * » et « + », ce n’est pas par hasard, et cette notation permettra plus loin de faire un lien vers la logique floue.

La conjonction est vraie si toutes ses « parties » (ses termes) sont vraies. Par exemple a * b * c (ou abc ou a ∧ b ∧ c) est vraie, si a, b, et c, sont simultanément vrais.

La disjonction, le « ou exclusif », est vraie si au moins l’un de ses termes est vrai. Par exemple a + b + c (ou a ∨ b ∨ c) est vraie, si au moins l’un de a, b ou c, est vrai. Ils peuvent d’ailleurs être tous vrais, ou deux ou un seul, au contraire du « ou » du langage courant, qui est exclusif, comme dans la phrase « une fenêtre est ouvert ou fermée ». Il faut garder à l’esprit cette différence avec le langage courant.

Le Vrai est le Faux, sont parfois noté 1 (le chiffre « un ») et 0 (le chiffre « zéro »).

De même que le fait que la conjonction est notée parfois « * » et la disjonction parfois « + », le fait que le Vrai soit parfois noté « un » et le Faux « zéro », permettra de faire un lien vers la logique floue, plus loin. Je le souligne, pour mettre l’accent sur ce qu’il faut suivre en priorité.

La négation, c’est la valeur symétrique, le complément, l’opposé, comme vous préférerez le dire au choix. Rien de spécial à en dire, excepté pour la logique intuitionniste, dont le traitement précautionneux qu’elle en fait, sera expliqué tout en dernier. La négation de Vrai, c’est Faux, et la négation de Faux, c’est Vrai.

Ces trois opérations logiques, comparables à des opérations arithmétiques, peuvent comme les opérations arithmétiques, être posées comme des tables, nommées « tables de vérité » (le « ∧ » signifie « et », le « ∨ » signifie « ou inclusif ») :

• Faux ∧ Faux = Faux
• Faux ∧ Vrai = Faux
• Vrai ∧ Faux = Faux
• Vrai ∧ Vrai = Vrai

• Faux ∨ Faux = Faux
• Faux ∨ Vrai = Vrai
• Vrai ∨ Faux = Vrai
• Vrai ∨ Vrai = Vrai

• ¬ Faux = Vrai
• ¬ Vrai = Faux

Maintenant, les trois mêmes tables dans le même ordre, en utilisant la notation avec le chiffre zéro pour le Faux, le chiffre un pour le Vrai, le signe de la multiplication pour le « Et » (la conjonction) et le signe de l’addition pour le « Ou » inclusif (la disjonction). L’autre signe restant, ressemble à un signe moins, et ce n’est pas un hasard ; il représente la négation.

• 0 * 0 = 0
• 0 * 1 = 0
• 1 * 0 = 0
• 1 * 1 = 1

En lisant cette table, vous devriez commencer à comprendre le pourquoi de cette notation.

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 1

Idem que plus haut, même si 1 + 1, ça fait 2, et pas 1, que ça peut faire tiquer, mais n’oubliez pas que l’algèbre Booléenne, ne connait que 0 et 1.

• ~ 0 = 1
• ~ 1 = 0

Ça vous surprend ? Maintenant, je le re‑écris comme ça :

• 1 - 0 = 1
• 1 - 1 = 0

Normalement, vous devriez vous dire « Ah wé, OK ».

Jusqu’ici, tout devrait être clair pour environ tout le monde. Si ce n’est pas le cas, il est préférable de relire sans se laisser embrouiller par le verbiage. Une fois que c’est clair dans votre esprit, vous pouvez continuer.

L’implication est un peu plus délicate, parce qu’elle peut être écrite de deux manières, et la seconde manière n’est pas très intuitive pour tout le monde. Ça risque de sembler long, lisez doucement  …

Une chose en implique une autre, si quand une chose est vraie (ou est présente ou se produit, comme vous préférerez le dire), alors une autre chose est automatiquement vraie en même temps, comme une conséquence. Par exemple, s’il a plut sur un livre, cela implique que le livre est mouillé.

Remarquez une chose importante : le livre peut‑être mouillé, sans qu’il n’ait plut sur le livre ! … il peut par exemple être mouillé, parce qu’il est tombé dans l’évier plein d’eau. Mais quand il a plut sur le livre, le livre est toujours mouillé.

Ce que cela signifie … si on note A = « il a plut sur le livre », si on note B = « le livre » est mouillé, alors si A est vrai, B est vrai, cependant que B peut être vrai sans que A ne le soit. Si cela semble confus, relisez les deux paragraphes plus haut avant de poursuivre.

Formellement (oubliez ce paragraphe s’il vous embrouille), l’implication ne se lit pas de la même manière dans les deux sens, on dit qu’elle n’est pas commutative, comme le sont l’addition et la multiplication : A + B est égale à B + A, de même, A * B est égale à B * A, mais A ⇒ B n’est pas toujours égale à B ⇒ A.

Ce qui précède, permet de comprendre ce qui suit maintenant. Si A ⇒ B, alors quand A est Vrai, B doit être Vrai ; mais B peut être Vrai tout seul, il n’a pas nécessairement besoin que A le soit, comme d’autres choses que A peuvent avoir comme conséquence que B est Vrai. On a donc : A ⇒ B est égale à ¬A ∨ B, car quand quand B est Vrai, A ⇒ B est toujours Vrai, quelque soit A ; si A est Faux, B peut être Vrai ou Faux, ça ne dément pas l’implication, mais si B est Faux, A doit nécessairement être Faux, sinon cela signifierait que B n’est finalement pas une conséquence de A. On a re‑donc A ⇒ B est égale à ¬A ∨ B.

Ces explications étaient nécessaires, parce que l’implication peut sembler contre‑intuitive, pour la raison que dans le langage courant et la pensée « ordinaire » (les deux sont liés), on envisage l’implication que en ayant à l’esprit que l’antécédent (A, dans les exemples précédents) est Vrai, et que l’on envisage typiquement pas, que l’antécédent puisse être Faux.

La table de vérité de l’implication peut maintenant être posée, sans qu’elle ne surprenne trop :

• Faux ⇒ Faux = Vrai
• Faux ⇒ Vrai = Vrai
• Vrai ⇒ Faux = Faux
• Vrai ⇒ Vrai = Vrai

Qui correspond exactement à …

• ¬Faux ∨ Faux = Vrai
• ¬Faux ∨ Vrai = Vrai
• ¬Vrai ∨ Faux = Faux
• ¬Vrai ∨ Vrai = Vrai

Comme précédemment, la même chose, avec la notation venant de l’arithmétique.

• 1 - 0 + 0 = 1
• 1 - 0 + 1 = 1
• 1 - 1 + 0 = 0
• 1 - 1 + 1 = 1

Pour la seconde ligne, n’oubliez pas qu’on ne connait ici, que le 1 et le 0, et qu’il est donc normal qu’on y obtienne pas 2, comme l’exigerait l’arithmétique sur les nombres entiers. Ici, 1 et 0 ne sont que des représentations de Vrai et Faux, permettant de faire le lien avec la logique floue (et aussi, des notations parfois utilisé en informatique).

En cours d’édition, pas encore fini !