Les logiques : notes en vrac

Il y a une nuance tellement délicate que j’espère qu’une erreur ne cache pas quelque part. Un exemple aidera à y voir plus clair et à s’assurer qu’il n’y a pas d’erreur … ou à suspecter qu’il y en a une.

Soit ces deux règles :

(r1 B). -- Corps vide, règle toujours vérifiée.
(r2 C) : (eq C c). -- Ne vérifie que (r2 c).

« non (r1 A) » ne peut pas avoir de solution pour A assurant que (r1 A) est impossible, comme (r1 A) ne peut pas être non‑vérifiée. Cette résolution échoue. « non non (r1 A) », n’a pas besoin de résolution, comme « non (r1 A) » échoue toujours et alors « non non (r1 A) » est vérifiée telle‑quelle, mais A reste indéterminée. Cependant, A peut être fixée par ailleurs, par exemple « (r2 A) & non non (r1 A) ». Avec ce terme supplémentaire, la solution de A est c et il n’est pas de restriction pour A garantissant que (r1 A) est impossible. Si au lieu de (r2 A), le premier terme est (r1 A), la conjonction est « (r1 A) & non non (r1 A) ». Pour (r1 A), la résolution de A est n’importe quelle valeur, Any et « non non (r1 A) » est toujours vérifié. Mais si on considère que A est initialement liée à Any, alors « non non (r1 A) » ne fait que laisser A inchangée, au lieu de laisser A indéterminée.

En résumé, et c’est perturbant : quand il est seul, le terme « non non (r1 A) » laisse A indéterminé, mais accompagné d’un autre terme réalisant une résolution pour A, « non non (r1 A) » laisse seulement A inchangée. Du coup, l’interprétation de « non non (r1 A) » seul, dépend du statut de A. Selon que A est initialement posée comme indéterminée ou initialement posée comme lié à Any, l’ensemble de tous les termes possibles, l’interprétation n’est pas la même. Est‑ce le signe que considérer qu’une variable libre est comme liée à l’ensemble de tous les termes, n’est pas correcte ? Est‑ce le signe que au contraire c’est ce qu’il faut pour que « non non P » puisse être équivalent à P ? Quel devrait être la statut d’une variable libre, quand aucune résolution ne s’y applique ? Jusqu’ici, elle a toujours été considérée comme liée à Any, mais cela a‑t‑il un sens au fond de poser une solution à priori pour une variable sans même l’appliquer au moindre terme ? Ou alors, n’ayant aucune résolution à faire, « non non (r1 A) » doit elle fixer A à Any quoiqu’il en soit ?

En tous cas, il semble au moins que « P & non non P » soit toujours vérifié, même en considérant que « non non P » n’est pas équivalent à P.

Tellement perturbant, que j’en oubliais une autre pensée qui alors qu’elle me revient, apparaît avoir un lien avec la question perturbante du précédent message, alors qu’elle était initialement sans rapport.

Un terme négatif étant une résolution, autant qu’un terme positif, la résolution étant seulement en négatif ou en positif, est venue une colle.

Disons qu’on veuille vérifier qu’une variable vérifie un terme et n’en vérifie pas un autre, mais sans que pour cela une restriction ne soit posée pour cette variable, du moins pas autre que ce qui est nécessaire pour qu’elle vérifie le terme positif.

Exemple : imaginons que « non (r A) » nécessiterait que A ne soit pas c, imaginons qu’on veuille vérifier « (s A) & non (r A) », mais sans restriction sur A. Ce n’est pas possible, la conjonction serait éventuellement vérifiée, mais pas avec la signification attendue. Du coup, est venue l’idée de pouvoir écrire que A ne doit pas être contrainte, et à cette fin, de formuler la conjonction ainsi : « (s A) & non (r A) & (eq A Any) ». Dans ce là, la conjonction échoue, parce que « non (r A) » pose une restriction sur A, qui n’est pas compatible avec (eq A Any). Ce qu’il y a de particulier avec ce terme, (eq A Any), c’est que sa possibilité n’a jamais été envisagée, Any étant une notion implicite ne pouvant pas être écrite, même si elle pouvait apparaître à l’affichage. Permettre ce terme, ferait de Any une notion explicite pouvant être écrite et suggère alors de distinguer une variable non‑liée d’une variable liée à Any. C’est là que cette idée rejoints la question perturbante du précédent message.

Mais pour formuler qu’on souhaite vérifier une impossibilité sans restriction, l’idée de (eq A Any) est peut‑être trop limitée. Peut‑être qu’une meilleure idée serait de conserver les deux notions de négations, celle de la négation par l’échec sans résolution (qui n’est pas toujours définie et pose alors des problèmes) et celle de la négation avec résolution garantissant l’impossibilité, peut‑être ces deux notions de négation devrait‑elle pouvoir coexister.

Mais se pose alors un problème semblable à un autre précédemment rencontré : les deux notions se superposent en partie. Quand la négation est appliquée à un terme constant, les deux types de négation se trouvent être équivalentes, ce qui est un mauvais signe. Une autre idée pourrait être de ne conserver que la négation par la résolution et de définir un opérateur excluant la résolution. Par exemple si cet opérateur était wr, pour without resolution ou même without restriction, il pourrait être possible d’écrire « wr non (r A)  » pour vérifier que (r A) est impossible, sans, restrictions sur A, ce qui serait peut‑être plus propre, mais ça n’est pas assez convaincant.

Ce n’est que de l’anticipation pour quand la résolution sera réintroduite, l’idée la plus immédiate étant toujours de redéfinir le langage de base, cette fois, seulement pour la vérification, sans résolution.

Sans répondre à la question précédente, en revenant au status d’une variable libre.

La raison de considérer que les variables libres sont liées à Any, était que (r A) inconditionnellement vérifiée, vérifie n’importe quelle terme. Mais il serait possible de considérer que c’est la vérification de (r A), qui détermine A, qui serait toujours posée comme initialement indéterminée ? Ce serait peut‑être sémantiquement plus correcte.

En même temps, considérer qu’une variable libre est librement liée à n’importe quel terme, n’avait pas posé de problème jusqu’à ce cas particulier.

En tous cas, le fait perturbant que l’interprétation de « non non (r A)  » seul, en dépende, montre que les deux options ne sont pas strictement équivalentes, même si elles le sont en dehors de cas particulier d’une double‑négation.

Autre question alors : ce cas particulier nécessite‑t‑il de se poser autant de questions ? Mais, si ça cachait autre chose … Peut‑être que simplement c’est l’interprétation qui devrait décider de l’interprétation d’une variable libre ?

Pour résumer les possibilités et les conséquences de chacune :

Soit une variable libre est liée à Any. Mais alors ça signifie que la résolution d’un terme positif peut imposer une restriction, puisque la solution de (eq A c) est une restriction, par rapport à Any. Sémantiquement, c’est étrange, mais ça n’avait jamais été vu comme un problème, faute d’occasion d’y voir un problème.

Soit une variable libre est indéterminée. Sous cette option, trois sous‑options. La première, quand rien ne s’applique à la variable, alors elle reste indéterminée, (r A) vérifiée inconditionnellement (ou n’ayant pas de sens ?), laisse A indéterminée, et « non non (r A) » aussi et difficile de parler d’équivalence avec A laissée indéterminée. La seconde, si aucune condition n’est posée sur la variable, il est considéré que sa solution est Any et alors « (r A) » fixe A à Any et « non non (r A) » aussi, qui est alors équivalent à (r A). Mais cette seconde option revient finalement au même que celle de considérer qu’une variable libre est liée à Any et pose le même problème sémantique, … sémantique seulement, mais pas un problème en pratique. La troisième option est comme la seconde, excepté que devant l’échec de « non (r A) », laissant A indéterminée (échec faute de solution négative) « non non (r A) », devant cet échec, n’a pas besoin de résolution et laisse A indéterminé. Cette troisième option est peut‑être une forme de confusion entre négation par la résolution et négation par l’échec et est peut‑être en contradiction avec le fait qu (r A), fixerait A à Any mais pas « non non (r A) », mais la négation faite ensuite, peut‑elle justement autre chose qu’une négation par l’échec, la négation par la résolution ne pouvant être faite que par « non (r A) ».

Ça ne se soigne pas avec un anti‑migraine, ce type de problème. Ces interrogations en valent‑elles vraiment la peine ? Mais comme dit précédemment : et si ça cachait autre chose ?

Question à souligner : si « non (r A) » est une négation par résolution (une recherche d’une forme de solution garantissant que (r A) est impossible), dans « non non (r A) », la négation venant s’y ajouter, peut‑elle être autre chose qu’une simple négation par l’échec la résolution négative étant censée avoir être tentée par la première négation ? L’application d’une seconde négation ne pourrait pas se définir comme l’exclusion d’une exclusion, comme la première application de la négation peut ne pas avoir de solution. Exclure « l’exclusion indéterminée », ça n’a pas de sens. Le seul fait que la première application de l’exclusion peut ne pas avoir de solution, semble suggérer que le domaine de la seconde application de la négation, ne peut être que celui de la négation par l’échec. Et ici, l’application de la première négation, n’est jamais indéfinie bien que pouvant ne pas avoir de solution, jamais indéfinie comme peut l’être la négation par l’échec, alors la seconde application de la négation, même si par l’échec, serait toujours définie, pas de problème de ce côté là.

L’idée initiale, n’était pas les double‑négations, seulement les simples négations, qui elles ne posent pas de problème. Mais même sans prévoir de pouvoir écrire une double‑négation, elle peut se produire indirectement. Par exemple :

(r1 X) : …
(r2 X) : non (r1 X).
(r3 X) : … & non (r2 X).

Si les négations supplémentaires ne sont pas des négations par l’échec, alors se pose la question de savoir ce que peut être la résolution de « non non P ». Si les négations supplémentaires sont des négations par l’échec, alors même si éventuellement non non P n’est pas équivalent à P, non non non P est quand‑même équivalent à non P.

Si les remarques précédentes sont correctes, la négation d’un terme positif et la négation d’un terme négatif, ne sont pas de la même nature. Un terme deviendrait négatif après l’application de sa première négation. La première application de la négation, peut échouer à trouver une solution.

Pour être vraiment rassuré, il faudrait avoir une idée de à quoi ça correspond dans la réalité, parce que même si formulé comme ça et avec les possibles raisons précédentes, ça ne semble pas insensé, pour la réalité, c’est moins évident.

Dans la réalité, à quoi pourrait correspondre l’impossibilité d’une impossibilité ? Intuitivement, je crois qu’une telle chose n’existe pas, qu’elle n’est quasiment qu’un jeux avec les mots, sans réalité dans le monde réel ; intuitivement, il n’y a que l’impossibilité tout‑court. Ça pourrait confirmer la possible conclusion plus haut, que les négations suivant l’application de la première négation, ne peuvent pas être de la même nature que la première. Les applications suivantes de la négation, seraient des interprétations successives de l’impossibilité initialement constatée ou pas, garantie ou pas.

Il faudrait quand‑même imaginer des exemples plus variés que ceux précédemment posés.

Sans certitude que ça s’applique bien comme ça se dit, poser l’impossibilité d’une impossibilité, semble être auto‑contradictoire.

Disons qu’on a une porte qu’on pose qu’elle soit garantie impossible à fermer. Disons que la solution est de la caler en position ouverte, avec une planche clouée au sol devant la porte en position ouverte, impossible à retirer avec ce dont on dispose. L’impossibilité de la fermer est garantie. Que signifierait garantir l’impossibilité de la garantie de l’impossibilité de la fermer, l’impossibilité de la fermer ayant été vérifiée ? Si on y arrive, ça ne peut que être en agissant en amont, par exemple en empêchant que la planche clouée au sol ne puisse être mise en place. Mais ça nécessite d’appliquer la seconde négation avant la première, ce qui contredit l’écriture et aussi l’ex-première se trouverait en second et alors en second elle se verrait obligée d’être appliquée en premier, etc, un cycle qui finalement n’aboutirait jamais à rien. Si on considère que la seconde négation n’a pas besoin d’être appliquée en amont, alors si elle est possible, ça signifie que la première impossibilité n’était en fait pas garantie et que alors elle a été posée alors qu’elle n’aurait pas dut l’être.

Soit une impossibilité vérifiée, signifie vraiment une impossibilité et alors il n’est pas possible de poser l’impossibilité de ce fait, ou alors si c’est possible, c’est qu’il n’aurait pas dut être vérifiée.

Ce n’est que pour illustrer qu’on peut trouver un problème de sens à poser l’impossibilité d’une impossibilité, tel que le mot se comprend, ça n’implique pas que ce soit applicable au précédent problème de la double‑négation qui est peut‑être un faux problème et qui n’en serait devenu un qu’après s’être égaré dans de mauvaises idées.

Mais si c’est vraiment ça et que c’est applicable, alors ce serait une autre manière de justifier que les négations suivant la première, ne pourrait pas être de la même nature. Mais ça pose le problème que la nature de la négation d’un terme, serait déterminée par la nature du terme, en l’occurrence, déterminée par le fait qu’il pose déjà ou pas, une négation, directement ou indirectement. Ça ne semble pas satisfaisant, parce que ça rendrait la négation facile à mal lire.

Peut‑être que ce tracas est dut à une confusion : le négation est un jugement, une vérification négative, qui est un jugement au même titre qu’une vérification positive (en oubliant un instant les différences pratiques entre les deux), et la résolution, c’est une autre chose. Les problèmes vus dans le sens de la double‑négation, sont peut‑être des symptômes du mélange des deux. La double‑négation, serait un jugement sur un jugement, une interprétation à laquelle il ne faudrait pas mêler la résolution. Parce qu’en effet, une solution rendant impossible une solution rendant impossible une vérification positive, ça a spontanément l’air suspect, autant que vouloir faire nier une réalité. C’est suspect pour le sens, mais si on aborde les choses comme des calculs à partir de bidules produisant des machins pourvu que ça puisse produire quelque chose, alors on pourrait aussi bien dire que que si une exclusion est une solution à une négation, alors la négation de cette négation est la ré‑inclusion de ce qui a été exclus. Mais ce n’est valable que sans se soucier du sens des choses, parce qu’en terme de sens, ça reste bizarre.

Pour ne pas continuer à s’embourber, il faudrait poser des exemples de cas dont l’interprétation ne ferait aucun doute. Ces cas seraient comme des cas de base ou des garde‑fous que devraient vérifier une interprétation générale. Le problème est que même les cas simples posées précédemment, n’ont pas semblé avoir d’interprétation indiscutable.

Possible que revenir à un langage ne faisant que des vérifications, sans résolutions, aidera à y voir plus clair, ce qui n’interdit pas d’anticiper.

Une description semblant confirmer le point de vu précédent, mais qui a l’avantage d’apporter une justification, en espérant qu’elle ne s’avère pas discutable.

En oubliant pas que le contexte est une chose importante, qu’on est toujours dans un contexte lui‑même dans un contexte et ainsi de suite et que le contexte englobant ne doit pas être nié, pour une raison de sens.

Si dans un contexte donné une chose est jugée possible, alors on peut imaginer produire un nouveau contexte inclut, compatible avec le contexte englobant, dans lequel cette chose n’est plus possible et est alors jugée impossible. Et si on voulait faire l’inverse, créer un contexte imbriqué dans lequel une chose impossible devient possible ? Intuitivement, mais une intuition qui semble évidente : on ne peut pas, parce qu’il faudrait que le contexte inclus offre une possibilité que n’offrait pas le contexte englobant. Alors, en terme de calcul à partir de trucs produisant des bidules, pas de problème, on prend le contexte et on l’étend. Mais ça n’a pas de sens, parce que ça renie le sens du contexte : un contexte inclus dans un contexte et sous le contexte englobant tenu pour posé, il ne peut pas être renié, sinon plus rien n’aurait de sens, parce qu’on pourrait toujours nier ce qu’on veut pour pouvoir dire ce qu’on veut.

Ce n’est pas seulement que ça illustre encore la différence entre un calcul aveugle produisant des bidules à partir de trucs, c’est aussi que ça montre que l’impossibilité est à sens unique, que poser l’impossibilité d’une impossibilité préalablement posée, est impossible sans être contradictoire.

Ça signifie que l’impossibilité, n’est pas dans la négation, elle est dans le contexte. La négation est un jugement, le constat d’un fait, celui d’une impossibilité.

Et voilà où une chose s’explique plus clairement mais malheureusement sans devenir immédiatement plus lisible : à moins qu’une impossibilité n’existe déjà dans un contexte, on peut la produire de deux manières dans un contexte inclus. La première est implicitement et ne nécessite rien de nouveau, c’est en posant une condition positive rendant impossible une autre condition positive, mais alors cette impossibilité ne sera pas apparente, elle sera implicite, ce qui serait un manque d’expressivité. La seconde est une tentative de rendre explicite ce qui est implicite dans la première solution : on pose une condition positive rendant impossible une autre condition positive et on écrit explicitement cette impossibilité. Cette impossibilité est notée « non » et signifie qu’on constate l’impossibilité qu’un terme soit vérifié. La troisième solution fait suite à la seconde, elle se dit que puisqu’on a le principe de la résolution, pourquoi ne pas écrire seulement ce qu’on veut constater impossible (pas de problème avec un langage dont les règles décrivent ce qui doit être sans se soucier de comment on y arrive) sans écrire le terme positif qui rend un autre terme impossible, et en laissant la résolution s’en occuper, puisque en terme de description de ce qui est, ça doit être équivalent.

Maintenant, question : dans le cas de la troisième solution, comment noter cette impossibilité après résolution ? On pourrait avoir l’idée d’un nouvel opérateur, mais il s avérerait être un quasi‑doublon de celui déjà introduit. Avec un exemple abstrait, cette remarque sera plus compréhensible.

On est dans un contexte où on a P1. Ayant P2, on pose P3, se plaçant donc dans un nouveau contexte inclus dans le premier. Ce P3, sans le dire, rend un certain P4 impossible. On souhaite le rendre explicite pour que ce soit lisible ou même pour s’assurer qu’on le vérifie bien et on l’écrit P3 & non p4. Puis on se dit que si P3 est écrit pour rendre P4 impossible, il suffit même d’écrire non P4. Mais dans P3 & non P4, P3 est la solution de non P4 qu’on veut vérifier. Si on écrit non P4 tout‑court, non P4 n’est pas une vérification, il est une recherche de solution. On pourrait se dire que alors on va introduire un autre opérateur, par exemple non2, qu’on ne va pas garder longtemps : non2 P4. Mais se pose alors un cas peu dommage quelque part. Imaginons que sans qu’on ne l’ai remarqué, la solution à non2 P4 existe déjà dans un terme qu’on avait posé ailleurs pour une autre raison, disons P5. Si P5 rend déjà P4 impossible, on pourrait alors aussi bien écrire non P4 au lieu de non2 P4. L’introduction d’un nouvel opérateur signifierait une seule distinction : qu’on considère que non P4 n’a pas déjà de solution et qu’il va falloir en trouver une. Pour un langage décrivant ce qui est, ça n’est pas le bienvenu. Pour rester dans l’esprit du langage, on peut simplement écrire non P4, que l’impossibilité de P4 doive être vérifiée par un nouveau contexte où soit déjà vérifiée par le contexte courant par le fait d’un autre terme. On peut noter que d’un point de vue description de ce qui est doit être vérifié, c’est équivalent et alors il est correcte d’avoir le même opérateur.

La création d’un nouveau contexte garantissant une impossibilité et la vérification de cette impossibilité dans le contexte tel‑quel, se noterait de la même manière. Dans les deux cas, elle se lirait comme tel, pas comme autre chose. Seulement, ça demanderait un petit effort à la lecture, parce que difficile de ne pas lire les choses en termes de résolution, quand on sait que résolution il peut y avoir. Mais qu’une chose soit déjà vérifiée ou nécessite une résolution, on ne devrait pas s’en soucier, pour la signification de ce qui est écrit, même si on peut s’en soucier pour certaines interprétations de ce qui est écrit, comme les propriétés des règles écrites, elles‑mêmes.

On peut voir les choses ainsi : on laisse la résolution s’occuper de la résolution, elle fait ce qu’elle a à faire quand elle doit le faire, et on ne se préoccupe que des constatations qui en émane.

Dans ce cas, les négations suivant une négation, ne sont pas de nature différente de la première, parce qu’on lit les choses sans se soucier de savoir si et où une résolution a été nécessaire, on ne se préoccupe que de savoir si oui où non, dans un contexte, qu’ils oit dérivée et laissée inchangé par rapport à une autre, de savoir si dans ce contexte, une chose est vérifié ou pas, que ce soit comme possible ou comme impossible.

Ça clarifie la relation entre négation et résolution, en étant parti d’un mélange des deux (confusion qui pourrait être faite facilement par beaucoup de gens ou spécifique à l’égaré qui les a écrite ?), on arrive à une séparation des deux. Mais reste encore une question qui s’est invité sans trop savoir consciemment comment cette idée est venue : la question d’avoir une notion de variable indéterminée ou pas.

Au lieu d’une impossibilité comme initialement envisagé, la négation serait le constat qu’une chose n’est pas vérifiée, ce qui pourrait être entre autre, justifiée par l’impossibilité, mais pas toujours. C’est à dire que non P doit se lire seulement comme P n’est pas vérifié, qui peut être justifié par P est impossible, mais peut avoir une autre justification, ceci dépendant du sens de P et de son contexte. Il n’est pas incohérent que l’impossibilité de P justifie non P, mais que non P ne signifie pas toujours qu’on a constaté l’impossibilité de P, parce que c’est précisément le lire ainsi, qui peut aboutir à des non‑sens, en lisant par exemple l’impossibilité d’une impossibilité.

non P se lisant comme P n’est pas vérifié, non non P se lit comme il n’est pas vérifié que P n’est pas vérifié, ce qui ne se lit pas facilement comme P est vérifié. Pour une fois ici, un retour à la lecture en terme de résolution, qui est un retour plusieurs messages en arrière, peut aider la lecture : l’échec à trouver une solution faisant que P n’est pas vérifié, ne s’accompagne pas nécessairement d’une solution vérifiant P … mais n’interdit pas que ça puisse être le cas. Cette question là devra être reprise plus tard.

La paragraphe précédent se termine encore sur une question, mais au moins deux choses semblent maintenant certaines. La première, non P n’est pas l’impossibilité de P, l’impossibilité est une notion appartenant au contexte et un contexte ne pouvant pas nier un contexte englobant, une impossibilité ne peut pas être rendu impossible. Le sens de la non‑vérification d’un terme, dépend probablement du sens du terme lui‑même, raison pour laquelle la négation en elle‑même, ne peut pas être interprété à l’excès sans que ça ne se termine en problèmes, il faut limiter sa lecture à « n’est pas vérifié », ce qui n’interdit pas une lecture plus approfondie, mais qui nécessite d’exposer ce qu’est le P de non P.

non non P ne peut pas se lire tel‑quel, il faut d’abord lire P. Pour certains P, non non P devrait assez sûrement avoir une lecture plus concrète, peut‑être même équivalente à P, mais voilà, apparemment, ça dépend de P.

Ça reste à compléter, mais ça s’éclaircit. Le seul fait de laisser l’impossibilité au contexte, clarifie déjà beaucoup ; c’est même une chose importante à souligner en la répétant : l’impossibilité est une constatation qu’on peut faire pour un terme dans un contexte (si on parvient à faire ce constat), elle ne peut être justifiée que ce cette manière, entre autres, pas par un jugement sur un jugement.