Les logiques : notes en vrac

Pour une partie, c’est comparable aux termes posés en hypothèse. Étant donné une règle « A : B. », si l’hypothèse {B} est présente dans le contexte, alors la règle peut être vérifié sous cette hypothèse, sans résoudre B qui est interprété comme fixé. Le cas cette fois est différent, même s’il partage cette similitude. La différence est que dans le cas de cette fois, B au contraire d’une hypothèse, n’est pas gelé et n’est pas une abstraction d’un ensemble de cas possibles. Cette différence sera expliquée dans le message suivant.

Un exemple de formulation nécessitant la stratification, sans règles interdépendantes. L’exemple, inspiré d’une application au langage naturel, est simple.

la première couche contient ces deux règles :

(i-go-to X). -- Inconditionnel, on peut aller où on veut.
(i-get-back-from X) : (i-go-to X). -- On ne revient que d’où on est allé.

Pour simplifier, dans la deuxième règle, rien ne mentionne que le terme qui est la condition, doit correspondre à une date antérieure.

Des exemples de propos (deuxième couche) dans les termes définis par les règles (première couche).

sentence-1 : (i-go-to london) & (i-get-back-from london).
sentence-2 : (i-go-to london) & (i-get-back-from rome).
sentence-3 : (i-go-to london) & (i-get-back-from There).
sentence-4 : (i-go-to There) & (i-get-back-from There).

Dans les quatre phrases du propos, le terme (i-go-to …) a toujours un sens, comme le terme correspond à une règle inconditionnel, donc a une affirmation qu’on peut toujours faire.

Dans la première phrase, la condition du sens de (i-get-back-from …) est vérifiée, le terme a un sens et donc toute la phrase, comme elle ne contient que deux termes dont la conjonction a un sens.

Dans la seconde phrase, le second terme n’a pas de sens parce qu’il est en contradiction avec le contexte posé par la phrase.

Dans la troisième phrase, la variable There du second terme est lié à london, d’après l’affirmation du premier terme. Ici on voit qu’un terme correspondant à une tête de règle, voit sa variable liée par une condition de la règle, une illustration du sens opposé souligné dans un précédent message. La liaison se propage de la condition à la tête de la règle, au lieu de se propager de la tête de la règle à la condition.

Dans la quatrième phrase, la variable There apparaît dans les deux termes, qui ne sont pas en désaccord, les termes ne sont pas insensés, mais ont un sens malgré tout indéterminé. Il serait possible d’imaginer que cette quatrième phrase, ait sa variable There liée par la tête de la phrase, comme dans : « (sentence-4 There) : (i-go-to There) & (i-get-back-from There). ». Il serait alors possible d’écrire par exemple « sentence-5 : (sentence-4 madrid) ».

Malgré la différence de sens de propagation des variables dans les règles de la première couche désignée depuis la deuxième couche, la similitude avec l’application des règles telle qu’elle a toujours été jusque maintenant, est importante, surtout qu’elle ne change effectivement pas pour l’application des règles issues de la deuxième couche elle‑même. Attention justement à ne pas oublier que pour l’application des éventuelles règles de la seconde couche, le sens de propagation des variables est tel qu’il avait toujours été jusque maintenant, de la tête vers la conjonction dans la règle.

Malgré la similitude, une différence sera soulignée plus tard, qui sera la réciproque de la recherche de solution lors d’une résolution.

L’ambiguïté d’une solution se comprend mieux comme une question de point de vue, qui dépend du domaine (les syntaxe, surtout) et des attentes (on peut parfois imaginer la résolution automatique d’une ambiguïté, alors elle n’est pas obligatoirement un problème), qui seuls peuvent distinguer l’indétermination de l’ambiguïté. La seule certitude, c’est qu’une solution unique ne contenant que des constantes, n’est pas ambiguë, dans tous les autres cas, ça dépend. L’ambiguïté est une indétermination qu’on distingue comme telle.

Elle est un jugement, qui pourrait se définir comme une réinterprétation d’autres jugements. Cette question n’en est donc pas une pour le langage, elle concerne l’interprétation externe qui lui est étrangère, il permet juste de la formuler.

L’indétermination aussi, est une question d’interprétation externe, mais dans un seul cas, ce qui fait que c’est beaucoup moins une question . Ce cas, c’est celui déjà vu, d’une variable libre dans une solution. Cette variable libre peut être vue comme une chose déterminée ou comme une infinité de solutions, celle qu’est tous les termes qu’il est possible d’écrire.

La différence avait en fait déjà été expliquée, mais elle est répétée rapidement avec deux précisions en plus : la différence est que dans un terme, des relations entre ses composants peuvent être interprétées à tord alors qu’elles sont arbitraires autant que certaines relations peuvent être importantes mais leur importance être manquée ; tandis que dans une conjonction de termes, les relations importantes sont écrites et ce qui n’est pas écrit, n’existe pas. Cette idée suppose qu’un propos est sur un terme, ce propos est alors une abstraction de ce terme et il peut exister plusieurs propos sur ce terme, autant que de types de choses qu’on peut vouloir en étudier ou en expliquer. En parlant de termes, il faut comprendre en pratique, des gros termes, des constructions ou réalisations concrètes (concrètes du point de vue du langage). Ceci dit, un propos peut exister sans porter sur un terme, il peut être posé tel‑quel et dans ce cas il n’est pas implicitement associé à d’autres propos, il se tient tout‑seul, ou normalement.

Pour bifurquer vers autre chose, on peut imaginer qu’il existe éventuellement une traduction d’un propos en un terme, si le propos décrit une chose sensée être réalisée. Cette traduction serait définie avec les constructions du langage lui‑même, faisant que son sens et ses propriétés lui seraient accessibles, au contraire de ce qu’il en serait avec une transformation externe (même chose d’ailleurs pour la traduction d’un terme en un des propos à son sujet). La traduction d’un terme en une chose réelle ou « réelle », est étrangère au langage, même si dans certains domaines on peut imaginer en définir la quasi‑totalité dans le langage lui‑même, elle ne peut pas entièrement en faire partie, elle n’en fait donc pas partie-tout‑court.

L’annonce n’était pas bien formulée, mais voici : dans l’exemple présenté, les cas étaient simples, alors que plus généralement, une règle de la couche du dessous, ne va pas toujours trouver un terme dont elle a besoin seulement en « scannant » la couche du dessus. Elle pourra ne pas trouver les termes nécessaires, mais au lieu de ça, trouver des termes dont elle pourra dériver les termes nécessaires. Ce qu’il faut comprendre, c’est que ce n’est pas toujours immédiat et directe comme ça l’était dans l’exemple. L’exploration y est autant nécessaire que pour la résolution, si ce n’est que cette exploration est à la recherche de confirmations au lieu d’être à la recherche de solutions.

— Édit : ce message est une erreur, pour la raison donnée dans le message qui le suit —

Construction pour définir les équivalences : une piste crédible mais lourde.

Dans l’avant‑dernier message, est mentionné que la traduction d’un terme en un propos à son sujet, est une définition d’une abstraction. Une équivalence implique une abstraction, par nature. Quand a été sommairement abordée la question des équivalences, s’est posé la question de représenter la définition d’une équivalence. Comme une telle définition est assez différente de celle d’une règle même si elle contient des règles, il avait été envisagé qu’il serait nécessaire d’introduire une construction dédiée à cette fin ; en fait, deux, une pour la définition et une pour l’application, comme la substitution d’un terme par un autre. L’idée n’était pas plus précise et inspirait un léger doute, comme les définitions d’équivalences, même si quand elles se montrent utiles, sont nécessaires car semblant sans solution de contournement, ne sont pas fréquentes, en comparaison de la place importante tenue par les règles.

Peut‑être que la stratification introduite, pourrait répondre aux besoins de la définition des équivalences.

Un exemple avait été la définition de l’équivalence entre deux listes, interprétées comme un ensemble. Elle comprenait deux règles. Une première disant la non‑importance de l’ordre des éléments et une seconde disant que la duplication des éléments est sans importance, cette seconde étant supposée interprétée dans le contexte de la première. Faire abstraction de l’ordre des éléments, est une chose immédiate pour un propos et ne nécessite même pas de règle. La non‑importance de la duplication des éléments peut s’exprimer avec une règle dans la couche du dessous, représentant le test d’appartenance d’un élément. Elle deviendrait même indépendante de la première abstraction, qui n’a d’ailleurs pas besoin d’être formulée.

Ce n’est qu’une solution pour un seul exemple de cas, mais comme cette solution existe, ça fait une raison de noter cette idée : et si, associée à une traduction, la stratification introduite, était suffisante pour permettre la définition (l’application n’est pas abordée) des équivalences ? Le fait que la traduction d’un terme en un propos soit une abstraction et qu’une équivalence sous‑entend une abstraction et qu’une relation entre traduction et équivalence avait été pressentie quand la notion d’équivalence avait été abordée, pourrait encore plus confirmer cette piste.

Sous réserve que les autres cas d’équivalence restant à imaginer aient une solution du même type que plus haut, la définition d’une équivalence serait composée ainsi : une formule de traduction et un ensemble de règles dans une couche de dessous. Dans ce cas, l’équivalence s’exprimerait comme une notion dérivée. Jusque maintenant, l’équivalence n’a pas semblé devoir être considérée comme une notion fondamentale, excepté pour expliquer l’interface entre l’extérieur et le langage, ce qui est justement étranger au langage.

Il a été imaginé dans l’avant‑dernier message, qu’une traduction pourrait être définie avec les constructions du langage lui‑même, sans plus de précision. Comme ici est mentionné une formule de traduction, il faut maintenant plu de précisions. Si les définitions d’équivalence s’appliquent à des termes, alors la traduction est de terme à props, ce qui était le cas envisagé. La traduction ne pourrait que être une résolution. La formule de traduction serait donc un ensemble de règles s’appliquant à des termes, ce qui est ordinaire, mais produisant des propos, ce qui n’est pas prévu. Peut‑être qu’une solution serait de définir des règles pour formuler les propos sous forme de termes (le propos tout entier). Cette idée construction du langage posé à partir de termes, avait été envisagée, sans encore savoir si c’est une nécessité ou pas.

Ceci suppose une forme de modularité dans le langage, une modularité pour la définition de concepts dérivés, pas une modularité pour organiser les grandes applications du language, ce qui est un autre type de modularité.

C’est une idée à noter, mais pas à introduire dans le langage pour le moment, excepté si à un moment ultérieur, les équivalences se montrent nécessaires en général et dans ce cas, il faudrait trouver une solution beaucoup plus légère. Les choses pratiques, utiles et dérivées, sont toujours remises à bien plus tard.

Le message précédent est une erreur : la solution ne permet pas de dire que deux listes sont équivalentes d’après une définition de l’équivalence des listes vues comme des ensembles, la solution permet seulement d’interpréter une liste comme un ensemble, ce qui peut se faire avec une interprétation ordinaire.

La réponse est non. La raison est que cette vérification s’intéresse à la tête des règles eq et neq, seulement à leurs têtes, en ignorant leurs conditions et que aucune interprétation des règles définie jusqu’ici, ne permet d’ignorer leurs conditions.

Introduire une interprétation des règles qui ignore leurs conditions, pourrait sembler improbable, ce sera pourtant peut‑être fait pour une autre raison.

Avec deux mois de retard.

Ce thème qui attendait d’être abordé, c’était celui des nombres. Assez tôt s’était posé la question de savoir si les nombres devraient être une notion du langage ou une notion dérivée.

Ce n’est pas seulement en pensant aux maths comme domaine d’application, que la question est revenue, il y a d’autres raisons. Les phénomènes peuvent être des sujets et souvent on ne peut pas dissocier un phénomène de sa mesure. La question des ensembles, précédemment abordée, a fait revenir celle des nombres. Une langue naturelle sans notion de mesure, même approximative, n’existe probablement pas. Puis il y a la physique, qui est une des justifications favorites pour la pertinence des notions qu’il est choisi d’intégrer au langage. La manière dont la question des nombres sera abordée, essaie seulement de donner des raisons empiriques à un choix fait, sans prétention de donner des raisons formellement indiscutables.

Les nombres pourraient être rangés en trois grandes catégories : les quantités, qui sont des nombres avec des unités, les proportions, et les constantes de la physique et des maths. Les deux premières sont communes à la physique et un peu au langage courant, la troisième est spécifique aux maths, à la physiques et à la chimie à travers cette dernière.

Les constantes sont‑elles incontournables pour parler de la nature de certaines choses éventuellement essentielles ? Elles ont l’air de faire partie de la substance des choses, et pourtant la réponse semble assez largement, non. Elles sont épisodiquement remises en questions, leur nécessité est toujours discutable. En théorie, il est même possible de se passer de beaucoup de constantes de la physique au moins, moyennant des reformulations. Beaucoup de constantes sont vues comme des conséquences des unités choisies ou de formuler les choses. À ce propos, voir ces deux liens, au moins pour les survoler et avoir une idée du status de ces nombres :

• Les constantes fondamentales de l’Univers (podcastscience.fm), Mathieu Favez, Janvier 2021.
• Les constantes capricieuses de la physique (astrosurf.com), Thierry Lombard, date inconnue, 2014 au postérieur. Ce second lien est sur deux pages.

Introduire les nombres comme notion du langage, au motif des constantes de la physique ou des maths, ces constantes étant trop discutables, serait un choix fragile.

Que penser des nombres exprimant des quantités avec une unité de base ? Le problème des unités est qu’elles sont arbitraires, même standardisées, elles le restent. Les dimensions qui vont avec les unités, peuvent s’exprimer comme des relations et ne nécessitent donc pas d’ajout au langage  ; les dimensions ne font pas partie de la question.

En plus d’être arbitraire, le choix d’une unité a une pertinence trop variable. Une distance de 100 m au milieu d’une fête foraine, ce n’est pas 100 m sur un plateau de montagne dénudé, ce n’est pas 100 m dans l’espace sur le trajet Terre-Mars. La différence est que l’espace sur 100 m de fête foraine est plus dense que sur 100 m du plateau dénudé et parcourir même 10 000 km au milieu du trajet Terre-Mars, serait comme ne pas avoir bougé, on ne le remarquerait même pas. La pertinence d’une unité est largement variable. Une suggestion dans ce qui précède, est que l’effet accompagnant une quantité , a plus de sens que la quantité elle‑même.

Les maths eux‑mêmes, justifient de voir un autre problème avec les unités. Le fait connu que la racine carré de deux n’est pas rationnelle, se dit parfois de cette manière : il n’existe pas d’unité telle que la diagonale d’un carré puisse avoir une mesure exacte avec cette unité. Non‑seulement les unités ont une pertinence variable, mais en plus, il n’est pas toujours possible de définir une unité exacte pour une quantité qu’on voudrait exprimer. Après les constantes, les quantités avec des unités, sont plutôt à oublier comme élément essentiel du langage.

Le langage courant a sa propre notion de grandeurs, sans unités et sans nombres. Les nombres y sont rarement utilisés et certaines langues (peu répandues) n’ont aucun vocabulaire pour les exprimer. Dans le langage courant, les grandeurs apparaissent plutôt en terme de « beaucoup », « peu », « assez », « proche », « trop », « facile », « minimum », etc, des mesures dont disposent plus ou moins même les langues qui ne peuvent pas exprimer les nombres (pour ce que je crois en savoir). Ce sont des grandeurs par rapport à quelque chose, semblant plus sémantiques que 100 ou 12345. Mais c’est « peu » ou autre par rapport à quoi ? C’est « un minimum » pour quoi ? Généralement, par rapport à une attente ou norme ou capacité implicite. C’est vague, mais ça a une qualité : ce n’est pas dans une unité arbitrairement fixée, l’unité peut être quelconque, elle est variable selon de quoi on parle ou selon qui parle. Cette piste ne sera pas exactement retenue, mais une autre assez proche.

Quand on dit « trop », on dépasse une capacité, il y a une saturation ou un débordement. Quand on dit « pas assez » on est sous le minimum pour qu’une chose puisse se réaliser. Quand on dit « loin », on excède une capacité avant lassitude ou un temps de trajet pour arriver avant une certaine heure. Ces notions de mesure évoquent plus du sens que de faire une mesure avec un étalon et de rapporter le nombre de fois qu’on l’a compté. On est aussi, comme dans l’avant‑précédent paragraphe, dans l’idée que la conséquence ou l’effet d’une quantité est plus pertinent que la quantité elle‑même. Le langage courant parle des effets en faisant abstraction des nombres, les maths parlent des nombres en faisant abstraction des effets, la physique traite avec les deux en même temps, mais me semble préférer les effets aux nombres. L’idée défendue est que les effets des quantités sont plus intéressants que les nombres, pour l’expressivité du langage.

L’idée d’effet s’arrêtera à la compréhension intuitive qu’on en avoir, sans en faire une définition formelle générale. Il est supposé qu’un effet peut autant être une chose qu’une relation entre des choses, que c’est une question de point de vue, comme on dirait ou une question de référentiel, comme dirait la physique.

Jusqu’ici, les constantes et les unités ont été abandonnées, les quantités sont interprétées comme leurs effets. Reste encore les proportions. Si une proportion est comprise comme une quantité de nombre, qu’une quantité est interprétée comme son effet, alors une proportion est un effet sur un effet. Ce à quoi correspond un effet dans le langage n’était pas posé, on s’arrête là.

La réponse décidée à la question est que les nombres ne seront pas des notions du langage, plutôt des notions de seuil ou de suffisance, en positif ou en négatif, permettant la réalisation d’une chose quelconque, ce qui a été appelé un effet. Même si c’est une réponse, elle est encore trop vague pour une définition. Sans qu’il ne soit tout à fait clair, il pourrait y avoir un lien avec une autre idée en suspend, celles des ensembles implicitement définis par les règles. Ce qui serait intégré à la place des nombres, serait les relations entre ces ensembles. Un exemple précédent pour resituer, était de pouvoir vérifier qu’un terme d’une tête d’une règle, couvre bien tous les termes vérifiés par une autre règle. Cet exemple de l’utilité qu’il y aurait à intégrer au langage, les relation entre les ensembles, peut sans trop de mal faire penser aux notions de « assez », « pas assez », « trop », du langage courant, dont il a été jugé qu’elles sont plus intéressantes que les nombres.

Oops, c’est une bourde, pour deux raisons.

On ne peut pas parler de séparer la tête d’une règle de ses conditions autant simplement, parce que la forme de la tête de la règle est parfois tout comme une condition de la règle. Il avait été remarqué assez tôt que que des choses dites dans la tête d’une règle pourrait l’être dans le corps et réciproquement.

Il n’y a pas besoin de séparer la tête et le corps de la règle pour résoudre le problème posé. Le premier terme en argument de eq, couvre tout le domaine des termes vérifiés par const, sans qu’il ne soit nécessaire d’omettre les conditions de eq.

Ce rappel inattendu qu’il y a une ambivalence entre les conditions d’une règle et la tête de la règle, qui souvent pose autant une condition de la règle qu’elle l’identifie, suggère qu’il pourrait être utile de définir une normalisation de la tête d’une règle. Elle serait telle que le terme produit, aurait des constantes là où la vérification ne peut se faire qu’avec ces constantes et des variables là où la vérification est variable. Par exemple, avec la règle « (r A B) : (eq A a). », la forme normalisée de la tête de la règle serait (r a B). Cette normalisation n’est pas garantie triviale, mais elle pourrait être utile, par exemple pour résoudre le problème de couverture dont il était question précédemment, surtout, si ce problème de couverture entre dans le cadre plus général des relations entre ensembles implicitement définis par les règles, qui sera peut‑être intégré comme une notion essentielle du langage.