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Les mathématiques : froides et inhumaines ? (l’art et l’harmonie mathématique)
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Dim 1 Juil 2012 02:18
Message Les mathématiques : froides et inhumaines ? (l’art et l’harmonie mathématique)
Bonsoir,

Je vais encore ennuyer le monde avec un sujet qui ne passionne pas les foules, re‑maths Rougi , mais au cas où il intéresse quelqu’un, un jour quand‑même.

Pour changer, c’est un sujet qui ne parle pas des maths‑maths, mais des mathématicien(ne)s, qui sont des …humains.

La citation qui suit, est issue d’un numéro hors‑série du magazine Sciences & Avenir, daté de Novembre 2011. Il est tellement intéressant que plusieurs autres citations en seront faites, car elles présentent des opportunités, autant de créer de nouveaux topics, que de compléter des topics déjà abordés ici.

C’est aussi une occasion de faire des citations d’une source hors‑Internet, pour rappeler qu’il ne faut pas s’en contenter, et que même si la non‑gratuité des magazines irritent avec les habitudes prisent sur le Net, ils sont intéressants et valent le petit sacrifice que mérite ce qu’ils apportent.

C’est le début de l’Édito. Ce qui est en gras, c’est moi qui le souligne (il faut toujours le préciser quand on le fait en citant une autre personne qui ne soulignait rien en particulier).

Édito du hors‑série de Sciences & Avenir, N°186 d’Octobre/Novembre 2011 a écrit : 

Constellations mathématiques

Lorsqu’il fait grand‑jour, les mathématiciens vérifient leurs équations et leurs preuves, retournant chaque pierre dans leurs quêtes de rigueur. Mais quand vient la nuit que baigne la pleine‑Lune, ils rêvent, flottant parmi les étoiles et s’émerveillant au miracle des cieux. C’est là qu’ils sont inspirés… » Ces mots sont ceux de Michael Atiyah, l’un des plus inventifs mathématiciens de notre temps. À les lire, tirant une ligne claire de la rigueur au rêve, des équations aux constellations, on comprend l’affreux malentendu dont souffre la discipline. Réputée rigide, obscure, elle ouvre en réalité des horizons infinis et poétiques.

« Les mathématiciens sont des créateurs au même titre que les artistes, jouant du rationnel et de l’irrationnel », dit, autrement, Jean‑Pierre Bourgignon, dans l’entretien qui ouvre ce hors‑série. C’est pour changer le regard porté sur eux que le directeur de l’Institut des hautes études scientifiques (IHES) a osé, avec le physicien Michel Cassé, une entreprise audacieuse : mettre en scène à la Fondation Cartier, haut lieu artistique, les méandres de la pensée mathématique. Les théoriciens y sont sujets, et non objets, « auteurs, et non x et y de l’équation », insiste Michel Cassé. Ils y nouent un échange, tournant à l’« hybridation », avec des artistes comme les cinéastes David Lynch ou Raymond Depardon, la chanteuse Patti Smith ou le sculpture Hiroshi Sugimoto.

Joli, non ? Sourire doux

Pensez‑y, ne pouvez‑vous pas voir un point commun entre un bon nombre d’arts et les mathématiques ? La figuration abstraite.

Un point commun avec une chose que font tous les artistes ultra‑sensibles ? Descendre au cœur des choses au delà de ce que les yeux et les sens peuvent percevoir. Aller au delà de l’expérience naturelle.

N’est‑ce pas le même filtre qui empêche d’y être réceptif et empêche d’être réceptif à certaines formes d’arts ?

Alors si les mathématiques ne sont pas comprises, elles le seraient selon le même processus qui laisse certaines formes d’arts incomprises.



Avis personnel, l’école y est pour quelque chose dans cette allergie, en menant à une impasse. Elle aborde jamais la question de l’harmonie et ne les présente que comme des brutes outils de calculs mécaniques. Et paradoxalement, les exigences des élèves ne vont pas dans un autre sens, quand ils/elles se plaignent que les mathématiques sont présentées de manière trop abstraites, pendant qu’elles le sont d’une manière qui ne l’est justement pas assez.

Je m’écarte de qui est cité plus haut en disant ça, mais peut‑être que l’école est dans une impasse en les présentant d’une manière à la fois trop éloignées de la réalité et à la fois pas assez abstraites, ce qui donne une situation perdant‑perdant. Des deux côtés on y perd, à la fois dans leur côté pratique (puisqu’elles sont des modèles de la réalité) et dans leur côté abstrait (puisqu’elles vont au delà de l’expérience naturelle des choses). Le pire positionnement possible, et il ne peut laisser que des allergies et des incompréhensions, puisqu’il ne laisse rien de bon. D’où le jugement que les mathématiques sont inhumaines et folles ou barbares.

Une autre raison est peut‑être aussi que l’école n’en connait que ce qui est numérique, alors que les mathématiques sont aussi symboliques.

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Hibou57

« La perversion de la cité commence par la fraude des mots » [Platon]
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Mar 3 Juil 2012 00:56
Message Re: Les mathématiques : froides et inhumaines ? (l’art et l’harmonie mathématique)
Hibou a écrit : 
Avis personnel, l’école y est pour quelque chose dans cette allergie, en menant à une impasse. Elle aborde jamais la question de l’harmonie et ne les présente que comme des brutes outils de calculs mécaniques.

Comme c’était trop facile à dire sans donner d’exemple, en voici un que j’espère n’être pas trop compliqué. Il se termine par une devinette, il faut essayer de trouver la réponse.

Définition intuitive et artistique de l’harmonie


Où peut‑être y avoir de l’harmonie et à quoi ça ressemble ? L’harmonie, comme le savent les gens qui pratiquent le dessin ou la musique ou la chorégraphie, passe par une structure. Derrière ce qui est harmonieux, il y a une structure harmonieuse, et des éléments de celle‑ci qui suggère la direction et la forme de ses propres autres éléments. C’est pour ça que c’est harmonieux, dans le cas contraire, ce serait juste chaotique. En pratique, avec les arts, il doit y avoir une petite dose de surprise, mais cette aspect là ne concerne plus l’harmonie, et la surprise, qui est une petite dose de hasard apparent ou de chaos, ne doit de toutes manières pas détruire l’harmonie.

Harmonie = Structure harmonieuse, et Structure harmonieuse = Structure dont certains éléments suggèrent les autres. Pas de nombres ici, juste des choses, des entités.

Un dessin qui semble moins compliqué quand on comprend comment il est dessiné


Des choses qui ne sont pas des nombres, ce sont pas exemples des opérations, ou les ensembles. Les opérations, ce sont par exemple, l’addition, la multiplication. Les ensembles, ce sont par exemples, les entiers positifs, les nombres rationnels.

Hop, les opérations par exemples. Lesquelles connaissez‑vous ?

  • Addition
  • Division
  • Exponentiation
  • Multiplication
  • Racine
  • Soustraction

À première vu, ça semble être autant de chose à connaitre, et plus il y en a, plus c’est compliqué et vous fait arriver à l’indigestion.

Pourtant, mieux comprendre ce que sont ces choses pour les mathématique, aide justement à mieux les digéré. Voyez‑vous une structure dans cette liste d’opération plus haut et classées par ordre alphabétique ?

  • Addition
  • Soustraction
  • Multiplication
  • Division
  • Exponentiation
  • Racine

Et maintenant ? Toujours pas ?


  • Addition / Soustraction
  • Multiplication / Division
  • Exponentiation / Racine

Vous voyez sûrement, maintenant.

Il n’y a plus 6 opérations, mais 3, chacune associée à une opération réciproque, une opération inverse (mais c’est un abus de langage de parler d’inverse).

C’est ça, une structure. Vous voyez déjà apparaitre ici un début d’harmonie, qui est une symétrie.

Le dessin réduit à une moitié, nous pouvons comprendre aussi comment cette moitié est dessinée


Ne gardons que les opérations initiales, en oubliant leurs opérations réciproques.

  • Addition
  • Multiplication
  • Exponentiation

Trois opérations, trois choses différentes à comprendre et à connaître ? Non, il n’y en a que deux, et ces trois opérations, dans l’ordre où vous les voyez dans la liste ci‑dessus, sont un dessin, et quelque chose génère et produit ce dessin ou cette structure, parce qu’il y en a encore une.

  • Addition : A + B = Quelque chose
  • Multiplication : A * B = (((A) + A) + A) + …) répété B fois.
  • Exponentiation : A B = (((A) * A) * A) * …) répété B fois.

Une opération se définie par répétition de l’opération précédente. C’est une autre forme d’harmonie. Cette harmonie n’est plus une symétrie comme la précédente (la symétrie n’est pas la seule source d’harmonie), c’est plutôt une sorte de ligne ou de trait, dont chaque segment varie comme le précédent.

Et nous n’avons ici plus 3, mais plus que 2 opération : l’addition, qui est notre chose de base, et la répétition, qui va nous permettre de dessiner une chose, à partie d’une autre, et ces choses ont un lien entre elle, et forme comme une ligne courbe, une ligne dont l’orientation ou l’épaisseur varie d’une manière cohérente et prévisible, et c’est pour ça que cette ligne est harmonieuse.

Vous êtes tous de grands mathématicien(ne)s, c’est tellement vrai que vous allez même inventer une nouvelle opération


Maintenant que nous comprenons comment le dessin est dessiné, nous pourrions même le continuer nous‑même, qu’il serait même possible de poursuivre le trait, avec une opération que l’on appellera ici, Imaginaire, et à laquelle nous attribuerons le symbole ❤ :

  • Addition : A + B = Quelque chose
  • Multiplication : A * B = (((A) + A) + A) + …) répété B fois.
  • Exponentiation : A B = (((A) * A) * A) * …) répété B fois.
  • Imaginaire : A ❤ B = (((A) A) A) ) répété B fois.

Vous pourriez jouer à imaginer à quoi pourrait correspondre cette opération, qui pourrait vraiment exister, elle est cohérente, même si elle n’a pas d’usage pratique (*). Elle a cependant sa place dans cette harmonie.

Résumé


Partis de 6 opérations, nous les avons réduites à 3 opération, en constatant une symétrie, puis nous avons réduit à 2 opérations, en constant qu’elles forment comme un trait, dont chaque segment part du point précédent. Nous avons même put créer une nouvelle opération, sans compliquer les choses, juste en poursuivant le trait plus loin, aboutissant ainsi à 8 opérations (**), en ne compliquant rien et gardant toujours seulement 2 opérations, suffisantes à la réalisation de notre dessin harmonieux, qui pourrait même être plus grand encore. Alors plus grand, il pourrait sembler compliqué au premier regard, cependant qu’il semblerait simple pour qui saurait par quel processus il peut être entièrement redessiné.

(*) En pratique, il n’en sera pas dit plus ici, mais des objets créés par des règles d’harmonie dans les mathématiques et semblant initialement n’avoir aucun intérêt pratique, peuvent en recevoir un, un jour, aussi bien que jamais.
(**) Les 6 opération initiales, plus notre opération Imaginaire et son opération réciproque.

Une devinette pour continuer le dessin de l’autre côté


Une devinette pour la fin ? Elle n’est pas facile, mais essayez.

Nous avons poursuivis le dessin, sur un de ses côtés seulement, disons que nous avons poursuivis la ligne vers la droite, en poursuivant la ligne après l’exponentiation et ajoutant un point après celle‑ci. Mais pourriez‑vous poursuivre la ligne sur son côté gauche, c’est à dire, créer un bout de trait avant l’addition pour ajouter un point avant celle‑ci ? Est‑il possible que le dessin commence un peu avant et que nous ayons manqué le début du trait ? Pensez vous que cela est possible ? Si vous pensez que Oui, juste parce que vous le sentez intuitivement mais sans savoir le montrer, vous pouvez le dire, et de même si vous pensez que Non. Si par contre vous pensez que Oui, avec certitude et que vous savez pourquoi, alors vous devez devoir décrire quel est ce point de la ligne, qui se trouverait juste avant l’addition et à partir duquel on pourrait tracer un trait pour arriver à l’addition. Le pouvez‑vous ?

Si personne ne trouve, vous aurez la réponse plus tard, mais pas trop vite, prenez le temps. Demain, je donnerai une piste sans donner la réponse Clin d’œil .ne

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Hibou57

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Mer 4 Juil 2012 02:19
Message Re: Les mathématiques : froides et inhumaines ? (l’art et l’harmonie mathématique)
Je donne l’indice promis hier, au challenge ou à la devinette sur laquelle s’achevait le message précédent : répété plusieurs fois, l’opération doit aboutir à l’addition.

Ça devrait être plus facile maintenant.

Bye, À+ Salut!

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Hibou57

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