Énigme : les nombres réels, n’existent pas

— Les nombres réels, n’existent pas.

De la bouche de qui peut bien sortir une affirmation en apparence si paradoxale ? Et pour quelle raison ?

Je laisse mariner aussi longtemps que nécessaire, mais si vraiment personne ne trouve, un jour je donnerai la réponse.

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Bizarre. Et en plus, un autre que Hibou, affirme cela ? Et à quelle occasion ?
Je cherche, d'où tu sors cela.
Alors on a parlé de Zenon et de ses paradoxes. Si on pousse la réflexion un peu plus loin, on pourrait généraliser et passer de l'espace, aux nombres. Ainsi avec Zenon, l'espace à parcourir ne pourra jamais l'être avant un temps infini. De là à en tirer que ce qui est au delà de l'espace à parcourir échappe à notre mesure, il n'y a qu'un pas. Et ce pas, si Zenon refuse de le franchir, visiblement, toi et l'autre que je ne connais pas, vous le franchissez allègrement.
Mais pour un mathématicien, le raisonnement ne tient pas, car pour lui, un simple segment de droite, aussi petit soit-il, contient un nombre infini de réels.
Tu as aussi parlé, dans le même sujet, des limites de Planck, là aussi, on pourrait fouiller. Car ces limites pourraient introduire des discontinuités dans "la droite numérique achevée" chère aux mathématiciens. Mais bien entendu, ils te rétorqueront que leur droite numérique achevée se contrefiche de ces limites que seule la physique impose, et qu'elle existe bel et bien et qu'elle est continue et sans points singuliers.
On peut dire aussi que R est contenu dans C et que nos pauvres réels ne sont que de pauvres résidus, issus d'un corps bien plus vaste, celui des complexes, mais ce n'est certainement pas à cela que tu songes....
Ce n'est donc pas par là qu'il faut chercher. Mais patience, je t'aurais, un jour, je t'aurais !

Houlaaaaa Harratch, t’as l’air en forme

Pour éviter que tu ne congèle, ainsi que les autres qui auraient envie de te suivre au Pôle Sud, un petit indice : ce ne sont pas des mots qu’un mathématicien prononcerait. Enfin… pas un pure matheux qui ne fait que ça (et là, ça donne un second petit indice au passage).

La réponse est à la fois simple et pointue. Elle paraitra toute bête ou même évidente à certaines personnes, et j’imagine, pointue à la plupart des autres gens.

Est-ce que c'est un statisticien (qui ferait des sondages) ?

C’était bien tenté et une bonne idée, mais c’est pas ça .

Puis zut, je me demande si j’ai bien fait de la poster et si vous n’allez pas être déçus par la réponse quand elle sera donnée (sauf Harratch j’imagine, qui va s’écrier « Mais c’est bien sûr ! » en se donnant une tape sur la tête).

J'étais déjà parti la dessus ...
Les nombres appartenant à l'ensemble des réels, ne sont malheureusement pas tous des entiers, ou des nombres fractionnaires c'est à dire avec un cycle de décimales répétitif. Les transcendants, comme ∏ ou e en font partie. Tout comme d'ailleurs les irrationnels, c'est à dire les nombres à exposants fractionnaires (comme racine de 2, ou x puissance (3/7) )
Du coup on ne peut pas tous les définir selon le critère courant, qui est je crois quelque chose comme : un nombre réel est un nombre dont on peut donner toutes les décimales.
Cette définition, n'est pas celle d'un mathématicien pour qui ∏ est bel et bien réel. Elle est plutôt un peu scolaire. On peut par exemple prouver à un écolier que la cent millionième décimale de racine de 7 peut être, avec le temps, déterminée, donc √7 est un réel répondant à la définition scolaire.
Mais il se trouve que les mathématiciens inventent des classes de nombres assez subtils, étranges mêmes dans la mesure où ils sont classés dans les réels, mais qu'ils ne sont absolument pas calculables : on peut simplement les approcher mais pas les calculer, et la marge d'erreur est (ce qui est le plus invraisemblable) indéterminable.
Mais ta réponse me met du plomb dans l'aile. Ce n'est pas une bonne piste. J'efface tout. Les statistiques qu'évoque Nucua ne me parlent pas trop non plus.
Est ce que par hasard, il ne faudrait pas remonter à la base même de la notion de calcul mécanique ? A l'époque de Turing par exemple ?

.... et si le mot "exister" était le révélateur ?

Oui, il est révélateur, il est au sens d’un certain point de vue. Tu brûle ?

Je lis le message d’avant que je n’ai pas encore lu.


Encore une petite brise et tu y es.

Réponse à la question « pour qui » : pour l’informatique, les nombres réels n’existent pas.

Ce n’est pas à prendre à la légère, parce que les gens ont facilement tendance à l’oublier.

Une règle de base devrait être au minimum de ne jamais utiliser l’égalité sur deux variables de type Real, qui portent mal leurs noms. En fait, Float dit bien ce qu’il veut dire, mais il est toujouts compris comme s’il signifiait Real, et c’est une erreur de le comprendre comme ça.

Bref, ne jamais faire “if x = y” ou “if (x == y)” si x et y sont de type soit‑disant réel, et toujours utiliser les opérateurs d’inégalité à la place, “<=” et “>=”, en définissant des appartenance à des intervalles, même étroits, si nécessaire.

Réponse à la question « pourquoi » : parce que les nombres réels sont des abstractions mathématiques, et ceux qui existent en pratique n’ont pas les propriétés de deux qui existent dans les abstractions mathématiques. Pour que les deux soit comparables, il faudrait une précision infini, et les ordinateur n’aiment pas l’infini, ils ne savent pas les produire et traiter avec. Finalement, les nombres réels en mathématique et en informatique ne sont pas les mêmes objets.

Solution possible : Pour éviter les mauvaises surprises, mieux vaut faire les choses avec des entiers, si nécessaire en utilisant des biais et des mise à l’échelle (*). Quand ça n’est pas possible parce que l’étendu des valeurs est trop large, que des très petites valeurs peuvent coexister avec des très grandes valeurs (**), alors il faut tenir compte de ce qui est dit plus haut.


(*) Par exemple en décidant que 1 n’est plus 1, mais que ce sera 100 ou 1000.

(**) Si des échelles logarithmiques ou des exposants positif et négatif sont souvent incontournables pour noter les valeurs, alors c’est un signe que vous êtes dans ce cas.

Je te signale toutefois qu'en utilisant, avec du C par exemple, le kernel d'un logiciel de calcul symbolique, comme Mathématica, on peut atteindre une précision aussi grande que l'on le désire. Mais bien entendu, qui dit précision infinie, sous entend, hélas aussi, temps de calcul infini....