Énigme : zéro divisé par zéro, égal …

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Hibou Administrateur	Une petite colle. À quoi est égal 0 / 0 ? Je donnerai la réponse plus tard, un autre jour


Hibou Administrateur	Je donne la réponse, temps que j’y penses, tant‑pis si personne n’est venu tenter une réponse. La réponse dépend des interprétations de la division. Si on la défini par une relation avec la multiplication, comme par exemple (a / b) * b = a, alors 0 / 0 peut être égal à n’importe quel nombre qui n’est pas infini, parce que n’importe nombre multiplié par zéro, donnera toujours zéro, vérifiant la relation (a / b) * b = a. L’ensemble des solutions est infini. Pour ce qui est de savoir si l’infini (ou les infinis), fait parti de cet ensemble de solution, je ne m’avance pas … mieux vaut manquer une partie du vrai que de dire du faux (du moins, c’est comme ça qu’on résonne plutôt en informatique formelle). De mémoire, le générateur SML de Isabelle/HOL (un assistant de preuves dans HOL), remplace l’expression constante 0 / 0 par la constante 0 (à moins que ce ne soit par 1, mais je crois plutôt me souvenir que c’est par 0).


Hibou Administrateur	Hibou a écrit : Je donne la réponse, temps que j’y penses, tant‑pis si personne n’est venu tenter une réponse. La réponse dépend des interprétations de la division. Si on la défini par une relation avec la multiplication, comme par exemple (a / b) * b = a, alors 0 / 0 peut être égal à n’importe quel nombre qui n’est pas infini, parce que n’importe nombre multiplié par zéro, donnera toujours zéro, vérifiant la relation (a / b) * b = a. L’ensemble des solutions est infini. […] La réponse était incomplète, je parlais d’interprétations au pluriel, mais je n’en avais donné qu’une. Je reprend : si la division est définie par l’équation, a ÷ b = x et b * x = a, alors 0 ÷ 0 a une infinité de solution, mais si la division est définie comme une opération, l’opération inverse de multiplication, alors 0 ÷ 0 n’a aucune solution ou vaut 1 ou vaut 0 : Code : `entrée:` `dividende,` `diviseur` `résultat` `⟻` `0` `début` `boucle:` `si` `dividende` `<` `diviseur` `aller` `à` `fin` `boucle` `dividende` `⟻` `dividende` `-` `diviseur` `résultat` `⟻` `résultat` `+` `1` `fin` `boucle` La boucle ne s’arrête jamais pour dividende ⟻ 0 diviseur ⟻ 0. Cette définition de la division comme opération n’est valable que pour les entiers naturels, mais zéro est un entier naturel, alors elle s’applique à 0 ÷ 0, ce qui est suffisant pour le propos. Mais on peut aussi écrire l’opération ainsi, toujours en supposant les entiers naturels : Code : `entrée:` `dividende,` `diviseur` `résultat` `⟻` `0` `début` `boucle:` `si` `dividende` `<` `diviseur` `aller` `à` `fin` `boucle` `dividende` `⟻` `dividende` `-` `diviseur` `résultat` `⟻` `résultat` `+` `1` `si` `dividende` `=` `0` `aller` `à` `fin` `boucle` `fin` `boucle` Le résultat de 0 ÷ 0 sera 1. Mais on peut encore aussi écrire l’opération ainsi : Code : `entrée:` `dividende,` `diviseur` `résultat` `⟻` `0` `début` `boucle:` `si` `dividende` `<` `diviseur` `aller` `à` `fin` `boucle` `si` `dividende` `=` `0` `aller` `à` `fin` `boucle` `dividende` `⟻` `dividende` `-` `diviseur` `résultat` `⟻` `résultat` `+` `1` `fin` `boucle` Le résultat de 0 ÷ 0 sera 0. En fait, d’autres formes plus « insensées » mais correctes seraient aussi possibles, donnant des résultats identiques quand le diviseur n’est pas zéro mais donnant chacune un résultat différent quand le diviseur est zéro. Ça dit, et c’est très important, que des axiomes peuvent n’être valables que pour des définitions en particulier, pas nécessairement pour n’importe quelle définition, ce qui inclut les définition intuitives. Le piège est que souvent la définition précise est oubliée, pour ne laisser la place qu’à la définition intuitive ; le pire est quand en pensant à une définition intuitive, on passe d’une définition précise à une autre ou qu’on sélectionne une définition précise ou une autre selon les circonstances. On peut aussi noter que la définition de la division sous forme d’équation, couvre finalement tous les cas possibles de la définition sous forme d’opération. C’est le cas avec plusieurs autres choses, pas seulement avec la division.