Les logiques : notes en vrac

La description précédente suggère que la résolution négative, se noterait mieux en prefix. Et au passage, on ne peut plus manquer la distinction entre deux négations qui effectivement coexistent : la résolution négative et le constat d’échec. La résolution négative se noterait non P, le constat d’échec se noterait P false et le constat de l’échec de la résolution négative, se noterait non P false, à comprendre comme (non P) false. Il reste encore à se pencher sur la relation entre les deux. Normalement, dans un contexte suivant non P, on devrait toujours vérifier P false, que P soit déterminé ou non.



Et la triple négation ?

Les triples négations, seraient réductibles à des des simple négations. Sur une chaîne de négations, appliqué jusqu’à ce que ça ne puisse plus l’être, il ne resterait que soit deux soit une négation. Ça peut se voir autrement : les négations s’éliminent par paire, à moins qu’il n’en reste plus que deux (ou plus qu’une, mais là on a plus de paire). C’est à dire que les double négations se comporteraient comme dans l’algèbre de Bool, excepté la simple double‑négation.

Justement en parlant d’algèbre de Bool, il ne faut pas oublier que ces négations, ont une justification sémantique, ce qui explique qu’elles ne se simplifient pas de la même manière, mais finalement, en partie de la même manière quand‑même.

Sous réserve de futures remises en question, mais avec l’espoir que c’est bon et qu’une réinterprétation de la vision des termes comme ayant une triple signification, confirmera que cette vision est cohérente, mais c’est pour plus tard.

— Édit: ce qui est décrit dans ce message, a une limitation importante décrite dans un message plus loin. Ce message est en partie incorrecte. — 


La reformulation de cette triple interprétation, avec un exemple simple qui évitera les complications. L’exemple est quelque part, tellement simple qu’il fait se demander pourquoi tant de méandres pour arriver là. Mais ça n’a pas mené que là, comme ce sera souligné plus tard et comme ça apparaîtra dans le détail des relation entre ces trois interprétations d’un terme.

Disons qu’on a ces trois règles :

(r x).
(r y).
(r z).

Le terme (r A) pourrait avoir les trois interprétations précédemment proposées. La première, l’interprétation « normale », est celle où A est l’une ou l’autre des trois constantes x, y ou z. L’interprétation comme une solution garantissant son impossibilité, est un ensemble d’exclusion, contenant les trois constantes, aucune ne pouvant être une valeur de A. L’interprétation comme une solution garantissant sa faisabilité, est un ensemble d’options, n’importe laquelle au choix, ne pouvant pas être exclue. Cet ensemble contient lui aussi les trois constantes, mais ne s’interprète pas de la même manière.

La solution garantissant la faisabilité, est le même que l’ensemble de toutes les solutions que la résolution pourrait trouver pour A. Ce n’est pas la même chose qu’une solution en particulier. Mais l’interprétation de cet ensemble, reste liée à la notion de négation, comme c’est un ensemble d’options au choix, dont au moins une ne doit pas être exclue. Cette interprétation pourrait faire penser à celle de (r A) posé en hypothèse, mais en diffère. Avec (r A) posé en hypothèse, on a une hypothèse représentant trois options possibles, tandis qu’avec la solution garantissant la faisabilité, on peut avoir les trois cas ou un seul ou deux et on ne sait pas lesquels. En parlant de (r A) posé en hypothèse, il faudrait l’ajouter comme une quatrième interprétation possible de (r A). Un terme n’aurait donc pas trois, mais quatre interprétations, avec des relations entre elles.

La solution quelconque ou « normale », est incluse dans ou à égale à la solution garantissant la faisabilité. La solution garantissant la faisabilité, est incluse dans ou à égale à l’hypothèse. La solution garantissant l’impossibilité, est à égale à l’hypothèse, mais avec une interprétation en négatif. C’est à dire que si on a non P, on ne peut pas avoir l’hypothèse {P}. La solution garantissant la faisabilité et celle garantissant l’impossibilité, se conditionnent mutuellement et elles conditionnent la recherche de solutions : la première ne peut pas ajouter à son ensemble, un terme ajoutée par la seconde dans son propre ensemble, et la seconde ne peut pas ajouter à son propre ensemble, tous les termes présent dans l’ensemble de la première. C’est à dire qu’on ne peut pas avoir P & non P. Si la première ne peut rien ajouter à son ensemble, ou si la seconde ne peut pas poser son ensemble au complet, alors il y a échec. Note : l’ensemble d’inclusion et l’ensemble d’exclusion pour une variable, n’est pas nécessairement produit pour le même terme. Si la variable A apparaît dans P et dans Q, alors non non P & non Q pourra éventuellement avoir une solution. C’est la raison pour laquelle dans la description faite de la manière dont les deux ensembles se conditionnent mutuellement, le conditionnement est élément par élément, pas sur tout l’ensemble, comme ça le serait dans le cas particulier non P & P avec A apparaissant dans P.

Il n’y a pas qu’un seul tel ensemble par variable, il y en aurait plusieurs, pour chaque variable, un par terme en négation ou en double‑négation. Ça se dit facilement, mais ça a de quoi inquiéter pour la mise en pratique.

Ça présage quand‑même en pratique, de grandes difficultés ou même peut‑être l’impossibilité de toujours avoir une résolution automatique, parce que l’exemple pris est simple, même si la description des relations entre ces interprétation d’un terme, n’est elle, pas simplifiée, mais la description de la manière dont les deux ensembles associés aux négations, se conditionnent mutuellement, est un peu simplifiée, il faudra la préciser.

Comme il y a une relation assez directe entre l’ensemble garantissant la faisabilité et la recherche de solutions, serait‑il possible de se passer de cet ensemble d’une manière ou d’une autre ?

Les relations entre les quatre (quatre, finalement pas seulement trois) interprétations possibles d’un terme, sont à noter.

La différence entre les deux, s’explique par le fait que l’algèbre de Bool, ne connait que deux valeurs, c’est à dire que si on a pas une de deux choses, c’est qu’on a l’autre. Avec des ensembles moins déterminés, l’algèbre de Bool ne fonctionne plus. Mais elle fonctionne pour la simplification d’une chaîne de négation jusqu’à ne laisser qu’une double ou une simple négation. L’explication est que la simple négation, produit une solution et la double négation, une autre solution et alors avec des négations supplémentaires, on se retrouve avec un choix parmi deux possibilités, si ce n’est pas l’une des deux solutions, c’est l’autre.

Les messages précédents, parlent d’ensembles, alors que les ensembles ont été exclus autant que possible. Ça reste en effet sous‑condition que les ensembles dont il est question, ne puissent jamais être infinis. S’il s’avère qu’ils peuvent être infinis, ou plus précisément, infinis sans forme réduite finie, par exemple à l’aide d’hypothèses pouvant réduire un ensemble infini à un fait vérifié par tous les termes de cet ensemble, alors tout serait à remettre en question.

Si les ensembles dont il est question doivent pouvoir contenir des hypothèses en plus de termes ordinaires, alors ça pourrait devenir trop compliqué en pratique. Se poserait quand‑même une question : comment un ensemble pourrait‑il contenir à la fois des termes et des hypothèses ? Plutôt remplacer tout un ensemble par une hypothèse. Dans ce cas, l’ajout d’un terme à l’ensemble serait formulé comme l’ajout d’un cas à l’hypothèse.

Ce ne serait pas surprenant que les hypothèse s’y invitent, comme il avait été pressenti que les hypothèse seraient probablement nécessaires pour prouver des négations, pressentant que ce ne serait pas toujours possible sans.

Complications à l’horizon, et ça ne fait pas envie … Mais ce n’est que de l’anticipation, le nouveau langage de base restant la priorité et il sera délibérément sans résolutions.

— Édit: ce qui est décrit dans ce message, a une limitation importante décrite dans un message plus loin. Ce message est en partie incorrecte. — 

Tentative de résumer sans trop de détails, pour plus de clarté, parce que c’est plus convaincant quand c’est plus clair. Résumé depuis presque le début, jusqu’à la récente conclusion. Un point est juste omis, il sera l’objet d’un prochain message dédié.

La négation qui a été discutée (il en reste une) a été sémantiquement définie comme la garantie de l’impossibilité d’une chose. C’est à dire que après non P, on a un contexte où il est garanti que P est impossible.

Il a été noté qu’on ne peut pas faire la négation d’une précédente négation, parce que la négation d’une impossibilité, ferait que l’impossibilité n’aurait plus de sens.

C’est alors posé un problème qui a fait perdre beaucoup de temps en tournant autour : le cas de non P quand P est vérifié par une règle contenant un terme lui‑même en négation.

C’était un vu comme un problème pour cette raison : il est possible de intuitivement se faire une idée de la signification de non non P, mais en même temps, non P vérifié par une règle contenant un terme en négation, semblait devoir ne jamais être réalisable, pour la raison résumé plus haut (contradiction du sens de l’impossibilité).

Cette apparente impasse a fait tourner en rond pendant longtemps et arrivant à se perdre de temps en temps, même en tournant en rond. Dans le même temps, l’idée que non non P fait est une garantie de P, tandis que non P est une impossibilité de P, ne posait pas de problème.

Cette apparente impasse a cessé d’en être une, en notant que P est vérifié dans un contexte, dans lequel P n’est pas encore vérifié, donc la négation dans la règle vérifiant P, n’empêche pas de vérifier non P, ce qui a permis de conclure que ça n’avait rien de différent de non non P, qui se comprenait intuitivement bien.

Pour que ça n’ait rien de différent de non non P, il faut que la négation dans la règle vérifiant P, sache qu’il y a aussi une négation dans non P. Est alors venu l’idée que non P, modifie l’évaluation de la règle vérifiant P, que l’évaluation sache qu’elle se fait sous une négation. Ainsi, la négation présente dans la règle vérifiant P, sais qu’elle est sous une négation et qu’elle correspond en fait à une double négation.

Il n’y a alors plus d’obstacle à définir à la fois non P et non non P, que les négations soient directes ou indirectes. Intuitivement, non P est un ensemble de valeur exclues pour une variable, pour assurer que P sera non‑vérifiable, tandis que non non P est un ensemble de valeurs dont au moins une ne doit pas être exclue, pour assurer que P sera vérifiable (description simplifiée).

On pourrait se dire que non non P faisant une chose sans utiliser un hypothétique résultat de non P, non non P pourrait être une sorte d’opérateur en lui‑même. Si non non P est laissé comme une double négation et non pas comme un opérateur tel que « garanti P », c’est parce que la double négation peut apparaître indirectement et que un second non, même indirecte, après un non direct, doit être interprété comme non non.

On pourrait trouver étrange que ce que fait non non P, n’utilise pas un hypothétique résultat qui serait produit par non P. C’est parce que non non n’est pas la négation d’une négation, sémantiquement incohérente, non non P produit une interprétation qui est la négation de celle de non P. Dit autrement, non non P n’est pas la négation de non P, c’est le sens de non non P, qui est la négaton du sens de non P : non P est la garantie de l’impossibilité de P, non non P est la garantie de la possibilité de P. Cela explique que cette négation s’applique non‑pas à un terme, mais à l’interprétation d’un terme. Ce n’est pas un opérateur comme ceux dont on peut avoir l’habitude, s’appliquant sur une valeur, au lieu de ça, il s’applique au processus d’interprétation, qu’il modifie (techniquement, ce serait plutôt la sélection d’une méthode d’interprétation). Cette modification de l’interprétation, existe en deux variantes : celle de non, celle de non non, ce qui fait trois méthodes, si on compte celle habituelle de la recherche d’une solution quelconque.

Note : on peut compter l’hypothèse comme une interprétation possible d’un terme aussi, ce qui en fait quatre, sa méthode d’interprétation étant de tenir le terme pour vérifié, sans vérification (ce qui ne se fait pas gratuitement comme on le souhaite, mais ce n’est pas la question du moment). La négation, qu’elle soit simple ou double, n’est pas définie pour s’appliquer à une hypothèse.

Cet autre point, est celui du status des variables libres. Pour anecdote, c’est parce qu’une lecture intuitive d’une double négation avait fait sentir une indétermination dans une absence de solution produite, que cette question a été introduite.

Il y a plusieurs problèmes à voir les variables libres comme liées à un Any, signifiant toutes les valeurs possibles.

Ce n’est pas tout à fait correcte avec les résultats des requêtes, même si ça n’avait jamais posé de problème. Quand une solution à une requête renvoyait quelque chose comme « A = B = Any », il avait bien été précisé que les variables A et B sont liées au même Any, qui n’est donc pas le même que quand on a « A = Any; B = Any » où les deux variables sont indépendantes. Le Any ne se lit pas aussi bien dans le cas de variables liées, même s’il se comprend. Le caractère lié des variables ressortirait mieux, si par exemple les variables A et B étaient dites indéterminées et liées entre elles. Les dires indéterminées, aideraient à prêter attention à ce qu’on peut leur substituer, comme si on choisi une valeur pour A, la même doit être choisie pour B. Mais ce n’est qu’un problème sans gravité et cette notation pourrait être conservée, car plus user-friendly.

Avec la double‑négation, il a été remarqué que le fait de considérer une variable libre comme indéterminée ou liée à Any, change le résultat, au point que la simple et la double‑négation, n’ont plus les mêmes relations entre elles. Une double négation pose qu’une variable doit au moins inclure certaines valeurs, pour qu’un certain terme soit vérifiable. Mais l’idée d’ajouter ces certaines valeurs à un Any, qui représente déjà toutes les valeurs possibles, est étrange. Si on les ajoute virtuellement à ce Any comme sa signification peut le suggérer, il reste inchangé (d’où l’ajout virtuel), ce qui fait disparaître cette information. La perte d’information, c’est plus grave. Ça peut même être la source d’une incohérence, si plus tard ayant perdu l’information qu’une valeur devra lui être choisi parmi certaines, qu’on en choisie une autre ne faisant pas partie de celles qui garantissait la vérification d’un certain terme, parce que interprétée comme liée Any, il a été considéré que n’importe quelle valeur ferait l’affaire. Pour résumer les deux points, avec la double négation, traitée les variables libres comme liées à Any, peut aboutir à une interprétation incorrecte par perte d’information et même à des incohérences. Ce problème pourrait avoir une solution, mais l’interprétation resterait problématique : une variable pouvant prendre n’importe quelle valeur, devant en inclure une parmi certaines, alors qu’elle peut déjà prendre toutes les valeurs possibles, ça aurait l’air suspect.

Un autre problème d’interprétation, interne au langage. Il n’est que suggéré rapidement sans entrer dans les détails. L’évaluation d’un terme avec une double ou simple négation, sur une variable indéterminée, produit une solution partiellement déterminée. Cette détermination partielle, est comme une évaluation partielle, ce qui peut être vu comme une fonction. Cette même solution pourrait être réutilisé avec des termes semblables, mais avec des variables déterminées. La solution n’aurait plus à être recherché à chaque fois, il suffirait de vérifier si la variables déterminée, a une valeur compatible avec la solution partiellement déterminée. Ça se conçoit moins bien en considérant que les variables libres sont liées à Any. C’est un problème d’interprétation dans le langage lui‑même.

Pour ces raisons, les variables libres devraient être interprétées comme indéterminées, surtout en présence de négations, comme c’est nettement moins problématique en leur absence. Mais même en l’absence de négation, en parlant d’interprétation justement, il a été proposée que l’interprétation d’une variable indéterminée, comme pouvant prendre n’importe quelle valeur, devrait être laissée à l’interprétation externe, pas au langage. Il se trouve que l’affichage, c’est une interprétation externe, d’où l’idée de quand‑même conserver cette notation pour afficher le résultat des requêtes avec résolution.

Ça ne peut se dire qu’avec des variables isolées qui ne sont pas en relation avec d’autres variables, comme dans (r A B). Dans ce cas, attacher un ensemble à une variable pour un terme devant être vérifiable ou non‑vérifiable, ne fonctionne plus. Il faudrait une autre définition, pour couvrir toutes les possibilités. Cette limitation ressemble à celle qui avait été rencontrée avant d’introduire les hypothèses. Une première tentative pour représenter une généralité, avait été de produire pour chaque variable, l’ensemble des termes produisant ses valeurs possibles. L’idée s’était arrêté sur le cas des variables en relations entre elles, se conditionnant entre elles, parce que apparaissant dans un même terme. La limite rencontrée est du même genre.

Cette définition pas toujours applicable, a quand‑même des propriétés intéressantes. Elle est la définition d’une forme de résolution. Elle produit une solution interprétable comme une solution partielle, dans l’idée de l’interprétation des termes. Elle définit comment les négations se conditionnent ou s’excluent entre elles. Elle aboutit à l’idée inattendue mais sensée, qu’un terme a plusieurs interprétations possibles. La négation est vue comme un opérateur agissant sur l’interprétation d’un terme, ce qui résous la question des négations indirectes et introduit une notion sémantique intéressante.

Mais voilà, malgré qu’elle ait plusieurs propriétés intéressantes, cette définition ne s’applique plus quand les variables concernées se conditionnent entre elles.

Les messages concernés sont marqués comme partiellement incorrectes.

Équivalence et correspondance.

L’équivalence, permet d’interpréter une chose comme une autre. L’équivalence et l’égalité sont liées, dans le sens où une équivalence dans un domaine d’interprétation, se conclue par l’égalité dans un autre domaine d’interprétation. L’équivalence peut aussi définir une chose implicitement, comme avec l’exemple précédent de deux règles d’équivalence entre des listes, permettant d’interpréter des listes comme un ensemble. L’ensemble n’est pas défini explicitement, il n’existe que dans ces deux règles d’équivalence. Du point de vue de cette définition implicite des ensembles, deux listes équivalentes sont deux ensembles égaux.

Il existe une autre forme d’interprétation qui n’a pas été posée explicitement, mais qui existe implicitement. Quand une unification est réalisée, deux termes sont mis en correspondance. Cette correspondance qui pourrait se représenter comme une relation entre deux choses, qui n’a pas été définie explicitement, permet elle aussi de définir une réinterprétation.

Dans un fichier texte, les caractères sont représentés par des nombres (pour simplifier). Interpréter une suite du nombre comme une suite de lettres, nécessite une correspondance entre un nombre et un lettre. Cette interprétation n’est pas réalisable avec une équivalence, parce qu’on ne peut pas substituer une lettre à un nombre et réciproquement. On pourrait voir une relation avec l’égalité aussi, en supposant que si A correspond à C, que B correspond à D, alors si A = B, on a aussi C = D.

Ce qui peut être formulé avec l’idée de correspondance, ne peut pas être formulé avec l’idée d’équivalence. Il semble que la réciproque est vraie aussi. Intuitivement, la correspondance ne peut être faite qu’entre deux choses préalablement définies. Pour définir une correspondance entre nombres et lettres, les nombres et les lettres doivent d’abord être définis. De son côté, l’équivalence définit par elle‑même.

L’expressivité de la correspondance pourrait sembler dépendre de l’existence de l’équivalence, mais peut‑être pas. Si A correspond à C et que A est équivalent à B, on peut dire que B correspond à C aussi. Mais il est possible de formuler que A correspond à C et que B correspond à C, sans équivalence. Disons que l’équivalence peut rendre la formulation de la correspondance, plus commode.

On peut dire que la correspondance définit une interprétation par traduction. Il a été dit que l’équivalence définit aussi une interprétation. Avec la correspondance, on a deux mots : correspondance et traduction. Avec l’équivalence, on a qu’un mot. Peut‑être que le mot correspondance pourrait être oublié pour ne parler que de traduction. Disons alors qu’il existe au moins deux manières de définir une interprétation : par une traduction et/ou par des équivalences.

Il faudrait se pencher sur les relations entre les deux, s’assurer qu’il n’y a pas de recouvrement entre les deux notions ou que l’une n’est pas dérivable de l’autre.

Équivalence et abstraction.

Quand des relations d’équivalence sur une première chose, définissent une seconde chose, c’est que dans la première chose, il est possible de voir toutes les interprétations de la seconde chose et il y en a même trop, sinon on ne parlerait pas d’équivalence, mais d’égalité. L’équivalence, en faisant une relation de plusieurs vers un, définit aussi une abstraction. Dans l’exemple des listes interprétées comme des ensembles, les règles d’équivalence font abstraction de l’ordre des éléments et de leurs possibles duplications.

L’abstraction définit l’interprétation de listes comme un ensemble, mais les notions que l’abstraction distingue, n’appartiennent pas au domaine défini. Quel est le domaine des notions distinguées pour être mises de côté ? Comme qualifier ce domaine ?

L’idée d’abstraction est proche de celle d’équivalence, elle rend seulement explicite des choses implicites. En faisant abstraction d’une chose, on la distingue, même si c’est implicitement.

En même temps que l’équivalence défini implicitement un ensemble, elle définit aussi implicitement l’idée d’ordre des éléments et l’idée de duplication des éléments.

En comparaison, la traduction définit moins de choses.