Les formules magiques

Une des constantes magiques.

On se déplace toujours dans l’espace‑temps à la vitesse de la lumière.

Sinon, étant donné trois côtés, a, b, c, si on considère que a est la base, que c est à gauche et b à droite et que la triangle est calé à gauche à l’origine d’un repère, on peut avoir le x du sommet avec la formule (c² - b² - a²) / 2a, quand on a ce x on peut avoir le y soit à partir de c (et x) ou de b (et a - x), au choix, comme y est la hauteur, on peut retrouver la surface du triangle aussi.

Ce n’est pas une formule magique que j’ai trouvé quelque part, j’avais juste besoin de déterminer les coordonnées du sommet du plusieurs triangle puis j’ai fait un lien entre les deux.

Une égalité remarquable : x² + ax = (x + a/2)² - (a/2)².

Une autre égalité remarquable : (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²).

Elle est évidente si on rappel deux des égalités remarquables du collège :

(a + b)² = a² + b² + 2ab
(a - b)² = a² + b² - 2ab

Pour être complet mais sans rapport avec ce qui précède, un rappel d’une autre, du collège aussi :

(a + b) (a - b) = a² - b²

Et celle de la multiplication de deux nombres complexes, qui se déduit de ℑ² = -1 :

(a + ℑb) × (a’ + ℑb’) = (aa’ - bb’) + ℑ(ab’ + a’b)

La somme des entiers j’usqu’à l‘infini, vaut -1/12 (moins un douzième).


Ce n’est apparemment pas un artefact mathématique, ça a été confirmé par l’expérience en physique quantique.

Pour les explications, voir : 

L'incroyable addition 1+2+3+4+...=-1/12 — Micmaths — 2014


Une égalité à manier avec précaution quand‑même :

La somme des entiers positifs fait‑elle vraiment -1/12 ? — AuDi Math / Benoit Rittaud — 2019


— Édit du 2024-08-08 —

Deux autres résultats contre intuitifs, le premier étant cependant le résultat d’une convention, le second n’en étant même pas vraiment une.

Le factoriel de 0 est égal à 1, alors qu’un produit fini contenant zéro, est toujours égale à zéro. Ça pourrait aussi signifier que le factoriel ne devrait pas être défini avec la multiplication. Voir l’explication par « la fonction gamma d’Euler » dans la première réponse de cette page d’un autre site : Pourquoi la factorielle de 0 est-elle égale à un ? (quora.com). Dans ce cas, la calcul par le multiplication serait une astuce qui ne serait plus valable avec zéro. Le même auteur donne une explication par la définition du factoriel comme étant le nombre de permutation d’un ensemble (il peut sembler que c’est effectivement son utilisation la plus courante), mais c’est fragile, comme on pourrait se demander si le nombre de permutation est défini pour un ensemble vide, autrement que par convention.

Le second cas est celui de zéro exposant zéro, considéré tantôt comme égale à 1, tantôt comme non‑défini. Zéro exposant n’importe quel nombre (au moins non‑infini), est égale à zéro, même si n’importe quel autre nombre que zéro, exposant zéro est égal à 1 ou alors les deux se contredisent et alors aucun des deux ne devraient être considéré comme défini sur leur point de désaccord.

L’angle formé par le produit de deux nombres complexes est égal à la somme des angles de ces deux nombres complexes.

L’angle formé par (a + bℑ) × (c + dℑ) est égale à l’angle formé par a + bℑ plus l’angle formé par c + dℑ.

Note : la lettre ℑ est le caractère Unicode pour « partie imaginaire », un caractère qui risque moins d’être pris pour autre chose que la lettre i.

Une équation polynomiale a au moins autant de solutions que son degré le plus élevé, si ce membre est non‑nul, sinon ça n’a pas vraiment de sens, quoiquon’on peut alors aussi considérer des solutions inutilement répétées, comme un cas avec certaines solutions identiques.

C’est le Théorème Fondamental de l’Algèbre, démontré par le mathématicien Carl Friedrich Gauss et par d’autres après.

Par exemple ax³ + bx² + c ou même ax³ + b, ont au moins trois solutions, parce que le degré le plus élevé est trois. Les solutions peuvent cependant être identiques, comme c’est le cas avec les équations du second degré où les deux solutions peuvent parfois être identiques.

La résistance de l’air au mouvement, est environ proportionnelle au carré de la vitesse.


La force de traînée s’exprime en Newton, c’est à dire masse par accélération, Kg m/s², selon la formule Cx × p × S × (v²/2) où p est la masse volumique du milieux en Kg/m³, S la surface frontale, la surface sur laquelle s’applique la résistance en m² et v la vitesse relative par rapport à l’environnement en m/s. Le Cx s’appel le coefficient de traîné, il dépend de la forme de l’objet et est déterminé expérimentalement. La réalité peut être plus complexe.

La constante de Feigenbaum est environ égale à 4.669...

Cette constante se retrouve dans les graphes de bifurcations des phénomènes chaotiques. Prenons trois nœuds qui se suivent, prenons les deux distances horizontales, entre le premier et le second puis entre le second et le troisième, le rapport de proportions entre les deux distances tend vers cette constante de Feigenbaum, à mesure qu’on avance dans les nœuds. Je ne sais pas si c’est le cas avec tous les phénomènes chaotiques ou seulement avec certains. L’origine de cette constante est inconnue, de même que sa valeur très exacte.

Le nombre d’or plus un, est égale au carré du nombre d’or. Le nombre d’or moins un, est égal à l’inverse du nombre d’or.

Φ + 1 = Φ²
Φ - 1 = 1/Φ